Номер 829 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$△ A BC, A B = BC$ , $A D$ — биссектриса

$D E ⊥ A D, E \in A C$ , $A E = a$

$BM ⊥ A C, DK ⊥ A C$

Найти:

$M K$

Чертёж к задаче 829 — равнобедренный треугольник ABC, биссектриса AD, перпендикуляр DE и точки M и K

Решение:

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $D E$ и $A B$ . В треугольнике $A PE$ отрезок $A D$ — биссектриса угла $A$ и высота ( $A D ⊥ PE$ ), поэтому треугольник равнобедренный:

A P = A E = a, P D = D E

Проведём $D O ∥ A C$ ( $O \in A B$ ). Тогда $∠ A D O = ∠ D A C = ∠ D A O$ , значит, треугольник $A O D$ равнобедренный: $O A = O D$ .

В прямоугольном треугольнике $A P D$ отсюда $∠ O D P = ∠ OP D$ , то есть $OP = O D$ и $O$ — середина $A P$ . Значит, $O D$ — средняя линия треугольника $A PE$ :

O D = \frac{A E}{2} = \frac{a}{2}

Из $D O ∥ A C$ следует $△ BO D \sim △ B A C$ :

\frac{O D}{A C} = \frac{OB}{A B} = \frac{A B - O D}{A B}

O D \cdot A B = A C \cdot A B - A C \cdot O D \Rightarrow O D = \frac{A B \cdot A C}{A B + A C}

a = 2 O D = \frac{2 A B \cdot A C}{A B + A C}

Высота $BM$ равнобедренного треугольника является медианой: $CM = \frac{A C}{2}$ . Так как $DK ∥ BM$ , в треугольнике $BMC$ :

\frac{C K}{CM} = \frac{C D}{CB}

По свойству биссектрисы (задача 642) $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ , поэтому $\frac{C D}{CB} = \frac{A C}{A B + A C}$ и

C K = \frac{A C}{2} \cdot \frac{A C}{A B + A C} = \frac{A C ^{2}}{2 ( A B + A C )}

M K = CM - C K = \frac{A C}{2} - \frac{A C ^{2}}{2 ( A B + A C )} = \frac{A B \cdot A C}{2 ( A B + A C )} = \frac{a}{4}

Ответ: $\frac{a}{4}$ .

Номер 829 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели