Номер 827 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Поэтому точка $C$ лежит с точкой $D$ по одну сторону от прямой $AB$ и с точкой $B$ по одну сторону от прямой $AD$, то есть $C$ лежит внутри угла $BAD$.

Значит, луч $AC$ проходит между сторонами угла $BAD$, и точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Отрезок $BD$ пересекает прямую $AC$ в некоторой точке $P$.

Так же точка $A$ лежит внутри угла $BCD$, поэтому $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $BD$, и отрезок $AC$ пересекает прямую $BD$.

Две различные прямые имеют не более одной общей точки, значит, обе точки пересечения совпадают с $P$. Точка $P$ принадлежит и отрезку $AC$, и отрезку $BD$ — диагонали пересекаются.