Номер 833 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

$M$ — середина $BC$ , $N$ — середина $A D$

Доказать:

если $A B = C D$ , то $MN ⊥ A D$ ;

обратно: если $MN ⊥ A D$ , то $A B = C D$

Чертёж к задаче 833 — равнобедренная трапеция и прямая через середины её оснований

Доказательство:

1) Пусть трапеция равнобедренная: $A B = C D$ . Треугольники $A BN$ и $D CN$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $A N = N D$ , $A B = C D$ , $∠ A = ∠ D$ ), поэтому $BN = CN$ .

Треугольник $BNC$ равнобедренный, а $NM$ — его медиана, значит, и высота: $NM ⊥ BC$ . Так как $BC ∥ A D$ , то и $NM ⊥ A D$ .

2) Обратное утверждение: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна к основаниям, то трапеция равнобедренная.

Пусть $MN ⊥ BC$ и $MN ⊥ A D$ . Прямая $MN$ проходит через середину $A D$ перпендикулярно ей, то есть является серединным перпендикуляром к $A D$ ; значит, $M A = M D$ . Так же $MN$ — серединный перпендикуляр к $BC$ , поэтому $NB = NC$ и $MB = MC$ .

В треугольнике $A M D$ ( $M A = M D$ ) отрезок $MN$ — высота и медиана, поэтому и биссектриса: $∠ A MN = ∠ D MN$ . Вычитая из них прямые углы $∠ BMN = ∠ CMN = 9 0^{\circ}$ , получаем $∠ A MB = ∠ D MC$ .

Треугольники $A MB$ и $D MC$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $A M = D M$ , $BM = CM$ ), поэтому $A B = D C$ — трапеция равнобедренная.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 833 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели