Номер 830 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№830. Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.

Дано:

$△ A BC$ , стороны $a = BC, b = C A, c = A B$

$m_{a}, m_{b}, m_{c}$ — медианы, $P = a + b + c$

Доказать:

$\frac{P}{2} < m_{a} + m_{b} + m_{c} < P$

Чертёж к задаче 830 — треугольник ABC с медианой AM, продолженной на её длину до точки A₁

Доказательство:

1) Продолжим медиану $A M$ за точку $M$ на её длину: $M A_{1} = A M$ . Треугольники $A BM$ и $A_{1} CM$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $A_{1} C = A B = c$ .

Из неравенства треугольника для $A C A_{1}$ :

2 m_{a} = A A_{1} < A C + C A_{1} = b + c \Rightarrow m_{a} < \frac{b + c}{2}

Складывая три таких неравенства:

m_{a} + m_{b} + m_{c} < \frac{( b + c ) + ( a + c ) + ( a + b )}{2} = a + b + c = P

2) Из неравенств треугольника для $A BM$ и $A CM$ :

m_{a} + \frac{a}{2} > c, m_{a} + \frac{a}{2} > b

2 m_{a} + a > b + c \Rightarrow m_{a} > \frac{b + c - a}{2}

Складывая три таких неравенства:

m_{a} + m_{b} + m_{c} > \frac{( b + c - a ) + ( a + c - b ) + ( a + b - c )}{2} = \frac{P}{2}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 830 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели