Номер 831 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — выпуклый четырёхугольник, $A C \cap B D = O$

периметры $A OB$ , $BOC$ , $CO D$ , $D O A$ равны

Доказать:

$A BC D$ — ромб

Чертёж к задаче 831 — выпуклый четырёхугольник, разбитый диагоналями на четыре треугольника

Доказательство:

Обозначим $A O = p$ , $CO = q$ . Из равенства периметров треугольников $A OB$ и $BOC$ (сторона $BO$ общая) и треугольников $A O D$ и $CO D$ (сторона $D O$ общая):

p + A B = q + BC, p + A D = q + C D

Предположим, что $p > q$ . Опустим из точек $B$ и $D$ перпендикуляры на прямую $A C$ ; хотя бы один из углов $A OB$ и $A O D$ не острый — пусть это угол $A OB$ (они смежные).

Тогда основание $H$ перпендикуляра $B H$ лежит по ту же сторону от $O$ , что и точка $C$ , поэтому $A H > C H$ , и по теореме Пифагора

A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} > B H^{2} + C H^{2} = B C^{2} \Rightarrow A B > BC

Но из первого равенства $A B - BC = q - p < 0$ , то есть $A B < BC$ — противоречие. Если не острым оказывается угол $A O D$ , то так же получаем $A D > C D$ , что противоречит второму равенству.

Значит, $p = q$ , то есть $A O = OC$ ; аналогично $BO = O D$ . Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $A BC D$ — параллелограмм.

Тогда из $p + A B = q + BC$ получаем $A B = BC$ : соседние стороны параллелограмма равны, значит, $A BC D$ — ромб.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 831 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели