Номер 834 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Все углы прямоугольника прямые, поэтому каждая биссектриса образует со сторонами углы по $45^{\circ }$.

В треугольнике, отсекаемом биссектрисами двух соседних углов (например, углов $A$ и $B$), два угла равны $45^{\circ }$, значит, третий равен

Так получаются все четыре угла четырёхугольника $PQRS$, то есть $PQRS$ — прямоугольник.

Этот треугольник равнобедренный, поэтому его вершина $P$ равноудалена от $A$ и $B$ и лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Так же вершина $R$ равноудалена от $C$ и $D$, а серединные перпендикуляры к $AB$ и $CD$ — одна и та же прямая.

Значит, диагональ $PR$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, а диагональ $QS$ — на серединном перпендикуляре к $BC$. Эти прямые перпендикулярны, поэтому диагонали прямоугольника $PQRS$ перпендикулярны, а прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат.