Номер 835 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм, на его сторонах вне его построены квадраты

$O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ — точки пересечения диагоналей квадратов на $A B, BC, C D, D A$

Доказать:

$O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ — квадрат

Чертёж к задаче 835 — параллелограмм с квадратами на сторонах и квадрат из их центров

Доказательство:

Точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от концов его стороны и видна из них под углом $4 5^{\circ}$ :

A O_{1} = B O_{1}, ∠ O_{1} A B = ∠ O_{1} B A = 4 5^{\circ}

Рассмотрим треугольники $A O_{1} O_{4}$ и $B O_{1} O_{2}$ . У них $A O_{1} = B O_{1}$ и $A O_{4} = B O_{2}$ (половины диагоналей квадратов, построенных на равных сторонах $A D$ и $BC$ ).

Углы между этими отрезками равны:

∠ O_{1} A O_{4} = 4 5^{\circ} + ∠ A + 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ} + ∠ A

∠ O_{1} B O_{2} = 36 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - ∠ B - 4 5^{\circ} = 27 0^{\circ} - ∠ B = 9 0^{\circ} + ∠ A

(здесь $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ как у углов параллелограмма при одной стороне).

Значит, $△ A O_{1} O_{4} = △ B O_{1} O_{2}$ по двум сторонам и углу между ними; так же им равны треугольники $C O_{2} O_{3}$ и $D O_{3} O_{4}$ . Отсюда

O_{1} O_{4} = O_{1} O_{2} = O_{2} O_{3} = O_{3} O_{4}

то есть $O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}$ — ромб.

Из равенства треугольников $∠ A O_{1} O_{4} = ∠ B O_{1} O_{2}$ , поэтому

∠ O_{4} O_{1} O_{2} = ∠ O_{4} O_{1} A + ∠ A O_{1} B - ∠ O_{2} O_{1} B = ∠ A O_{1} B = 9 0^{\circ}

Ромб с прямым углом — квадрат.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 835 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели