Номер 836 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№836. На стороне $C D$ квадрата $A BC D$ отмечена точка $M$ . Биссектриса угла $B A M$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Докажите, что $A M = B K + D M$ .

Дано:

$A BC D$ — квадрат, $M \in C D$

$A K$ — биссектриса угла $B A M$ , $K \in BC$

Доказать:

$A M = B K + D M$

Чертёж к задаче 836 — квадрат ABCD, биссектриса AK угла BAM и вспомогательная точка M′

Доказательство:

На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ отложим отрезок $B M^{'} = D M$ .

Прямоугольные треугольники $A B M^{'}$ и $A D M$ равны по двум катетам ( $A B = A D$ , $B M^{'} = D M$ ), поэтому

A M^{'} = A M, ∠ B A M^{'} = ∠ D A M

Обозначим $∠ B A K = ∠ K A M = α$ . Тогда $∠ D A M = 9 0^{\circ} - 2 α$ и

∠ M^{'} A K = ∠ M^{'} A B + ∠ B A K = 9 0^{\circ} - 2 α + α = 9 0^{\circ} - α

Из прямоугольного треугольника $A B K$ : $∠ A K B = 9 0^{\circ} - α$ . Значит, в треугольнике $A M^{'} K$ углы при вершинах $A$ и $K$ равны, и он равнобедренный:

M^{'} K = M^{'} A = A M

Но $M^{'} K = M^{'} B + B K = D M + B K$ , поэтому

A M = B K + D M

Ответ: утверждение доказано.

Номер 836 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели