Номер 837 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

три равных квадрата в ряд, $A$ и $E$ — концы нижней стороны

$B$ , $C$ , $D$ — вершины на верхней стороне

Найти:

$∠ B A E + ∠ C A E + ∠ D A E$

Решение:

Примем сторону квадрата за единицу. Диагональ $A B$ — диагональ квадрата, поэтому $∠ B A E = 4 5^{\circ}$ .

Отметим точку $D_{1}$ , симметричную точке $D$ относительно точки $E$ . По теореме Пифагора:

A C^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5, C D_{1}^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5, A D_{1}^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10

A C = C D_{1} = 5, A C^{2} + C D_{1}^{2} = 10 = A D_{1}^{2}

Значит, треугольник $A C D_{1}$ равнобедренный и прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора), поэтому $∠ C A D_{1} = 4 5^{\circ}$ .

Точки $D$ и $D_{1}$ симметричны относительно $E$ , а $D E ⊥ A E$ , поэтому $∠ D_{1} A E = ∠ D A E$ и

∠ C A E + ∠ D A E = ∠ C A E + ∠ D_{1} A E = ∠ C A D_{1} = 4 5^{\circ}

∠ B A E + ∠ C A E + ∠ D A E = 4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

Ответ: $9 0^{\circ}$ .