Номер 838 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№838. Внутри квадрата $A BC D$ взята такая точка $M$ , что $∠ M A B = 6 0^{\circ}$ , $∠ MC D = 1 5^{\circ}$ . Найдите $∠ MBC$ .

Дано:

$A BC D$ — квадрат, $M$ — точка внутри него

$∠ M A B = 6 0^{\circ}, ∠ MC D = 1 5^{\circ}$

Найти:

$∠ MBC$

Решение:

На луче $A M$ отложим отрезок $A K = A B$ . Треугольник $A B K$ равнобедренный с углом $6 0^{\circ}$ при вершине $A$ , значит, он равносторонний:

B K = A B = BC, ∠ A B K = 6 0^{\circ}

Тогда $∠ K BC = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , и в равнобедренном треугольнике $B K C$ ( $B K = BC$ ):

∠ BC K = \frac{18 0 ^{\circ} - 3 0 ^{\circ}}{2} = 7 5^{\circ}

∠ K C D = 9 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

Значит, точка $K$ лежит и на луче $A M$ , и на луче $CM$ (так как $∠ MC D = 1 5^{\circ}$ ), поэтому $K$ совпадает с $M$ .

∠ MBC = ∠ K BC = 3 0^{\circ}

Ответ: $3 0^{\circ}$ .