Номер 839 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

квадраты $BC D E$ , $A CTM$ , $B A HK$ построены вне $△ A BC$

$TC D Q$ и $EB K P$ — параллелограммы

Доказать:

$A P = A Q, ∠ P A Q = 9 0^{\circ}$

Доказательство:

В параллелограмме $EB K P$ : $K P = EB = BC$ (сторона квадрата $BC D E$ ) и $K B = A B$ (сторона квадрата $B A HK$ ). Угол при вершине $K$ :

∠ B K P = 18 0^{\circ} - ∠ EB K = 18 0^{\circ} - (36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - ∠ B) = ∠ B

Значит, $△ B K P = △ A BC$ (по двум сторонам $K B = A B$ , $K P = BC$ и углу между ними), откуда

BP = A C, ∠ K BP = ∠ B A C

Точно так же из параллелограмма $TC D Q$ получаем $△ CQT = △ A BC$ , откуда

CQ = A B, ∠ TCQ = ∠ B A C

Углы $A BP$ и $QC A$ равны, так как $∠ A B K = ∠ A CT = 9 0^{\circ}$ (стороны квадратов):

∠ A BP = 9 0^{\circ} + ∠ B A C = ∠ QC A

Треугольники $A BP$ и $QC A$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $A B = QC$ , $BP = C A$ ), поэтому

A P = Q A, ∠ B A P = ∠ CQ A, ∠ A PB = ∠ Q A C

Из треугольника $A BP$ :

∠ B A P + ∠ A PB = 18 0^{\circ} - ∠ A BP = 9 0^{\circ} - ∠ B A C

Значит,

∠ P A Q = ∠ P A B + ∠ B A C + ∠ C A Q = (9 0^{\circ} - ∠ B A C) + ∠ B A C = 9 0^{\circ}

Итак, $A P = A Q$ и $∠ P A Q = 9 0^{\circ}$ — треугольник $A PQ$ прямоугольный и равнобедренный.

Ответ: утверждение доказано.