Номер 842 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№842. Через точку $M$ , лежащую внутри параллелограмма $A BC D$ , проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны $A B$ , $BC$ , $C D$ и $D A$ соответственно в точках $P$ , $Q$ , $R$ и $T$ . Докажите, что если точка $M$ лежит на диагонали $A C$ , то площади параллелограммов $MPBQ$ и $MR D T$ равны и, обратно, если площади параллелограммов $MPBQ$ и $MR D T$ равны, то точка $M$ лежит на диагонали $A C$ .

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм, $M$ — внутри него

$PR ∥ BC$ , $TQ ∥ A B$

Доказать:

$M \in A C ⟺ S_{MPBQ} = S_{MR D T}$

1. Пусть точка $M$ лежит на диагонали.

Чертёж к задаче 842 — точка M на диагонали AC параллелограмма ABCD

Диагональ делит параллелограмм на равные треугольники, а отрезки $A M$ и $MC$ — диагонали параллелограммов $A PMT$ и $MQCR$ :

S_{A BC} = S_{A D C}, S_{A PM} = S_{A TM}, S_{MQC} = S_{MRC}

Вычитая из равных площадей равные:

S_{MPBQ} = S_{A BC} - S_{A PM} - S_{MQC}

S_{MR D T} = S_{A D C} - S_{A TM} - S_{MRC}

S_{MPBQ} = S_{MR D T}

2. Пусть площади равны.

Чертёж к задаче 842 — точка M вне диагонали и точка N пересечения прямой PR с AC

Допустим, что $M$ не лежит на $A C$ . Прямая $PR$ пересекает диагональ в точке $N$ ; проведём через $N$ прямую, параллельную $A B$ , и получим параллелограммы $NPB Q_{1}$ и $NR D T_{1}$ равной площади (по доказанному).

У параллелограммов $MPBQ$ и $NPB Q_{1}$ общее основание $PB$ на прямой $A B$ , а высоты пропорциональны отрезкам $PM$ и $PN$ :

\frac{S _{MPBQ}}{S _{NPB Q_{1}}} = \frac{PM}{PN}, \frac{S _{MR D T}}{S _{NR D T_{1}}} = \frac{RM}{RN}

Точки $M$ и $N$ лежат на отрезке $PR$ , поэтому из $PM < PN$ следует $RM > RN$ , и тогда

S_{MPBQ} < S_{NPB Q_{1}} = S_{NR D T_{1}} < S_{MR D T}

Это противоречит условию; случай $PM > PN$ разбирается так же. Значит, $M$ лежит на $A C$ .

Ответ: утверждение доказано.

Номер 842 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели