Номер 843 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$M \in A C, K \in BC, A K \cap BM = O$

$S_{OM A} = S_{1}, S_{O A B} = S_{2}, S_{OB K} = S_{3}$

Найти:

$S_{CM K}$

Чертёж к задаче 843 — треугольник ABC с отрезками AK и BM и точкой их пересечения O

Решение:

Обозначим $S_{OCM} = x$ , $S_{OC K} = y$ , $S_{OM K} = z$ . Всюду пользуемся тем, что треугольники с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как эти основания.

Треугольники $OM K$ и $OB K$ (вершина $K$ ), треугольники $A OM$ и $A OB$ (вершина $A$ ):

\frac{z}{S _{3}} = \frac{OM}{OB} = \frac{S _{1}}{S _{2}}, z = \frac{S _{1} S _{3}}{S _{2}}

Отношение $A M : MC$ считаем двумя способами — через треугольники $A BM$ и $CBM$ и через треугольники $A OM$ и $COM$ :

\frac{S _{1} + S _{2}}{x + y + S _{3}} = \frac{S _{1}}{x}, x S_{2} = S_{1} (y + S_{3})

Так же для $B K : K C$ :

\frac{S _{2} + S _{3}}{x + y + S _{1}} = \frac{S _{3}}{y}, y S_{2} = S_{3} (x + S_{1})

Из этой системы:

x = \frac{S _{1} S _{3} ( S _{1} + S _{2} )}{S _{2}^{2} - S _{1} S _{3}}, y = \frac{S _{1} S _{3} ( S _{2} + S _{3} )}{S _{2}^{2} - S _{1} S _{3}}

Четырёхугольник $CMO K$ равен $x + y$ и одновременно равен $S_{CM K} + z$ , поэтому

S_{CM K} = x + y - z = S_{1} S_{3} (\frac{S _{1} + 2 S _{2} + S _{3}}{S _{2}^{2} - S _{1} S _{3}} - \frac{1}{S _{2}})

S_{CM K} = \frac{S _{1} S _{3} ( S _{1} + S _{2} ) ( S _{2} + S _{3} )}{S _{2} ( S _{2}^{2} - S _{1} S _{3} )}

Ответ: $\frac{S _{1} S _{3} ( S _{1} + S _{2} ) ( S _{2} + S _{3} )}{S _{2} ( S _{2}^{2} - S _{1} S _{3} )}$ .

Номер 843 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели