Номер 844 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№844. На сторонах $A C$ и $BC$ треугольника $A BC$ взяты точки $M$ и $K$ , а на отрезке $M K$ — точка $P$ так, что $\frac{A M}{MC} = \frac{C K}{K B} = \frac{MP}{P K}$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ , если площади треугольников $A MP$ и $B K P$ равны $S_{1}$ и $S_{2}$ .

Дано:

$\frac{A M}{MC} = \frac{C K}{K B} = \frac{MP}{P K} = k$

$S_{A MP} = S_{1}, S_{B K P} = S_{2}$

Найти:

$S_{A BC}$

Чертёж к задаче 844 — треугольник ABC с точками M, K и P на отрезке MK

Решение:

Обозначим общее отношение через $k$ и $S_{A BC} = S$ . Тогда

\frac{A M}{A C} = \frac{C K}{CB} = \frac{MP}{M K} = \frac{k}{k + 1}, \frac{MC}{A C} = \frac{K B}{CB} = \frac{P K}{M K} = \frac{1}{k + 1}

Треугольники с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как основания:

S_{A M K} = \frac{A M}{A C} \cdot \frac{C K}{CB} \cdot S = \frac{k ^{2}}{( k + 1 ) ^{2}} S

S_{1} = \frac{MP}{M K} \cdot S_{A M K} = \frac{k ^{3}}{( k + 1 ) ^{3}} S

Так же для второго треугольника:

S_{B K M} = \frac{K B}{CB} \cdot \frac{MC}{A C} \cdot S = \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} S

S_{2} = \frac{P K}{M K} \cdot S_{B K M} = \frac{1}{( k + 1 ) ^{3}} S

Извлекаем кубические корни и складываем:

3 S_{1} = \frac{k 3 S}{k + 1}, 3 S_{2} = \frac{3 S}{k + 1}

3 S_{1} + 3 S_{2} = \frac{( k + 1 ) 3 S}{k + 1} = 3 S

Ответ: $(3 S_{1} + 3 S_{2})^{3}$ .

Номер 844 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели