№845. Точки , , и соответственно — середины сторон , , и параллелограмма . Докажите, что при пересечении прямых , , и образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма .
Дано:
, , , — середины , , ,
Доказать и найти:
— параллелограмм
Решение:
Отрезки и параллельны и равны половине , поэтому — параллелограмм. Так же и дают параллелограмм :
Значит, — параллелограмм.
Центр параллелограмма — центр симметрии всей фигуры: он меняет местами и , и , и , и , а потому прямую — с прямой , прямую — с прямой . Отсюда
В треугольнике точка — середина и , поэтому — середина . В треугольнике точка — середина и , поэтому
У треугольников и общее основание , а вершины и лежат на одной прямой с :
Так же , а эти четыре треугольника вместе с составляют весь параллелограмм:
Ответ: .
