Номер 849 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№849. Прямая, проходящая через середины диагоналей $A C$ и $B D$ четырёхугольника $A BC D$ , пересекает стороны $A B$ и $C D$ в точках $M$ и $K$ . Докажите, что площади треугольников $D CM$ и $A K B$ равны.

Дано:

$P$ — середина $A C$ , $Q$ — середина $B D$

$PQ \cap A B = M, PQ \cap C D = K$

Доказать:

$S_{D CM} = S_{A K B}$

Чертёж к задаче 849 — четырёхугольник ABCD и прямая MK через середины диагоналей

Доказательство:

Середина $P$ отрезка $A C$ лежит на прямой $M K$ , значит, точки $A$ и $C$ равноудалены от этой прямой. У треугольников $A M K$ и $CM K$ общее основание $M K$ , поэтому

S_{A M K} = S_{CM K}

Точно так же из того, что $Q$ — середина $B D$ :

S_{BM K} = S_{D M K}

Точка $M$ лежит на $A B$ , точка $K$ — на $C D$ , поэтому

S_{A K B} = S_{A K M} + S_{M K B}, S_{D CM} = S_{DK M} + S_{K CM}

Складывая доказанные равенства, получаем

S_{A K B} = S_{CM K} + S_{D M K} = S_{D CM}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 849 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели