Номер 850 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№850. Сторона $A B$ параллелограмма $A BC D$ продолжена за точку $B$ на отрезок $BE$ , а сторона $A D$ продолжена за точку $D$ на отрезок $DK$ . Прямые $E D$ и $K B$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что площади четырёхугольников $A BO D$ и $CEO K$ равны.

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм

$E \in A B$ за точкой $B$ , $K \in A D$ за точкой $D$

$E D \cap K B = O$

Доказать:

$S_{A BO D} = S_{CEO K}$

Чертёж к задаче 850 — параллелограмм ABCD с продолжениями сторон и точкой O пересечения ED и KB

Доказательство:

Точка $E$ лежит на прямой $A B$ , а $D C = A B$ , поэтому у треугольника $E D C$ основание и высота те же, что у $A B D$ :

S_{E D C} = \frac{1}{2} D C \cdot h = \frac{1}{2} S_{A BC D} = S_{A B D}

Точки $B$ и $C$ равноудалены от прямой $A D$ , а у треугольников $B DK$ и $C DK$ общее основание $DK$ :

S_{B DK} = S_{C DK}

Точка $O$ лежит на отрезке $B K$ , поэтому отрезок $D O$ делит треугольник $B DK$ на два:

S_{A BO D} = S_{A B D} + S_{BO D} = S_{A B D} + S_{B DK} - S_{O DK}

Точка $O$ лежит на отрезке $E D$ , поэтому четырёхугольник $CEO K$ получается из $CE DK$ удалением треугольника $O DK$ :

S_{CEO K} = S_{CE D} + S_{C DK} - S_{O DK}

Слагаемые справа попарно равны, значит,

S_{A BO D} = S_{CEO K}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 850 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели