Номер 851 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№851. Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в 3 раза меньше площади самого четырёхугольника.

Дано:

$A BC D$ — выпуклый четырёхугольник

$A M = MN = NB$ на стороне $A B$

$CP = PQ = Q D$ на стороне $C D$

Доказать:

$S_{MNPQ} = \frac{1}{3} S_{A BC D}$

Чертёж к задаче 851 — выпуклый четырёхугольник ABCD с отрезками MQ и NP

Доказательство:

Отрезки $MQ$ и $NP$ делят четырёхугольник на три части: $A MQ D$ , $MNPQ$ и $NBCP$ . Проведём в них диагонали $A Q$ , $MP$ и $NC$ — никакие две из них не имеют общего конца.

У треугольников $A MQ$ , $MNP$ , $NBC$ основания $A M = MN = NB$ лежат на прямой $A B$ . Точка $P$ — середина $CQ$ , поэтому её расстояние до $A B$ равно полусумме расстояний от $C$ и $Q$ :

S_{MNP} = \frac{1}{2} (S_{A MQ} + S_{NBC})

У треугольников $A Q D$ , $MPQ$ , $NCP$ основания $Q D = PQ = CP$ лежат на прямой $C D$ , а $M$ — середина $A N$ :

S_{MPQ} = \frac{1}{2} (S_{A Q D} + S_{NCP})

Складываем:

S_{MNPQ} = S_{MNP} + S_{MPQ} = \frac{1}{2} (S_{A MQ D} + S_{NBCP})

S_{MNPQ} = \frac{1}{2} (S_{A BC D} - S_{MNPQ})

3 S_{MNPQ} = S_{A BC D}, S_{MNPQ} = \frac{1}{3} S_{A BC D}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 851 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели