№852. Середины и сторон и выпуклого четырёхугольника соединены отрезками , , и соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам и .
Дано:
— середина , — середина
Доказать:
Доказательство:
Точка — середина , поэтому
У треугольников и общее основание , а — середина , поэтому расстояние от до равно полусумме расстояний от и :
Точка лежит на и на , точка — на и на , поэтому
Подставляем в равенство и сокращаем одинаковые слагаемые:
Ответ: утверждение доказано.
