Номер 855 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№855. Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника $A BC D$ проведена прямая, пересекающая отрезок $A B$ в точке $M$ и отрезок $C D$ в точке $K$ . Прямая, проведённая через точку $K$ параллельно отрезку $A B$ , пересекает отрезок $B D$ в точке $T$ , а прямая, проведённая через точку $M$ параллельно отрезку $C D$ , пересекает отрезок $A C$ в точке $E$ . Докажите, что прямые $BE$ и $CT$ параллельны.

Дано:

$A C \cap B D = O, M \in A B, K \in C D, M, O, K$ на одной прямой

$K T ∥ A B, T \in B D$

$ME ∥ C D, E \in A C$

Доказать:

$BE ∥ CT$

Чертёж к задаче 855 — четырёхугольник ABCD, прямая MK через точку O и отрезки KT и ME

Доказательство:

Точки $K$ , $O$ , $M$ лежат на одной прямой, $T$ , $O$ , $B$ — на прямой $B D$ , и $K T ∥ MB$ . Аналогично $ME ∥ K C$ :

△ O K T \sim △ OMB, \frac{OT}{OB} = \frac{O K}{OM}

△ OME \sim △ O K C, \frac{OE}{OC} = \frac{OM}{O K}

Перемножаем:

OT \cdot OE = OB \cdot OC

Точки $K$ и $M$ лежат по разные стороны от $O$ , поэтому $T$ и $B$ тоже по разные стороны от $O$ , как и $E$ с $C$ . Углы $TOE$ и $BOC$ вертикальные, а площади треугольников с равными углами относятся как произведения заключающих эти углы сторон:

\frac{S _{OTE}}{S _{OBC}} = \frac{OT \cdot OE}{OB \cdot OC} = 1, S_{OTE} = S_{OBC}

Точка $O$ лежит внутри отрезков $BT$ и $EC$ , поэтому

S_{BTC} = S_{BOC} + S_{OTC}, S_{ETC} = S_{EOT} + S_{OTC}

S_{BTC} = S_{ETC}

У этих треугольников общее основание $TC$ , значит, точки $B$ и $E$ равноудалены от прямой $TC$ и лежат по одну сторону от неё:

BE ∥ CT

Ответ: утверждение доказано.

Номер 855 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели