Номер 853 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№853. Точка $A$ лежит внутри угла, равного $6 0^{\circ}$ . Расстояния от точки $A$ до сторон угла равны $a$ и $b$ . Найдите расстояние от точки $A$ до вершины угла.

Дано:

$∠ O = 6 0^{\circ}$ , $A$ внутри угла

$A B ⊥ OB, A B = a$

$A D ⊥ O D, A D = b$

Найти:

$O A$

Чертёж к задаче 853 — угол 60 градусов с вершиной O и точка A внутри него

Решение:

Пусть $C$ — точка пересечения прямой $A B$ со стороной $O D$ .

В прямоугольном треугольнике $OBC$ : $∠ OBC = 9 0^{\circ}$ и $∠ BOC = 6 0^{\circ}$ , значит, $∠ OCB = 3 0^{\circ}$ и катет $OB$ против угла в $3 0^{\circ}$ равен половине $OC$ :

OC = 2 \cdot OB, B C^{2} = O C^{2} - O B^{2} = 3 O B^{2}, BC = OB 3

В прямоугольном треугольнике $A D C$ угол $A C D$ — тот же самый угол в $3 0^{\circ}$ , поэтому

A D = \frac{1}{2} A C, A C = 2 b

Точка $A$ лежит между $B$ и $C$ :

BC = A B + A C = a + 2 b, OB 3 = a + 2 b, OB = \frac{a + 2 b}{3}

По теореме Пифагора для треугольника $OB A$ :

O A^{2} = O B^{2} + A B^{2} = \frac{( a + 2 b ) ^{2}}{3} + a^{2} = \frac{4 a ^{2} + 4 ab + 4 b ^{2}}{3}

O A = 2 \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}

Ответ: $2 \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$ .

Номер 853 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели