Номер 859 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№859. Внутри прямоугольного треугольника $A BC$ с прямым углом $C$ взята точка $O$ так, что справедливо равенство $S_{O A B} = S_{O A C} = S_{OBC}$ . Докажите, что справедливо равенство $O A^{2} + O B^{2} = 5 O C^{2}$ .

Дано:

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $O$ внутри треугольника

$S_{O A B} = S_{O A C} = S_{OBC}$

Доказать:

$O A^{2} + O B^{2} = 5 O C^{2}$

Чертёж к задаче 859 — прямоугольный треугольник ABC и точка O с перпендикулярами OM и ON

Доказательство:

Обозначим $A C = b$ , $BC = a$ и проведём $OM ⊥ A C$ и $ON ⊥ BC$ . Каждая из трёх площадей равна трети площади треугольника:

\frac{1}{2} A C \cdot OM = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab, OM = \frac{a}{3}

\frac{1}{2} BC \cdot ON = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} ab, ON = \frac{b}{3}

Четырёхугольник $OMCN$ — прямоугольник, поэтому

CM = ON = \frac{b}{3}, CN = OM = \frac{a}{3}, A M = \frac{2 b}{3}, BN = \frac{2 a}{3}

По теореме Пифагора:

O A^{2} = O M^{2} + A M^{2} = \frac{a ^{2}}{9} + \frac{4 b ^{2}}{9}

O B^{2} = O N^{2} + B N^{2} = \frac{b ^{2}}{9} + \frac{4 a ^{2}}{9}

O C^{2} = O M^{2} + C M^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{9}

O A^{2} + O B^{2} = \frac{5 ( a ^{2} + b ^{2} )}{9} = 5 O C^{2}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 859 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели