Номер 862 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№862. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Дано:

$△ A BC$ — остроугольный

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты

Доказать:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — биссектрисы $△ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чертёж к задаче 862 — остроугольный треугольник ABC с высотами и треугольником A₁B₁C₁

Доказательство:

Прямоугольные треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ имеют общий острый угол $A$ , поэтому они подобны:

\frac{A B _{1}}{A C _{1}} = \frac{A B}{A C}, \frac{A B _{1}}{A B} = \frac{A C _{1}}{A C}

У треугольников $A B_{1} C_{1}$ и $A BC$ угол $A$ общий, а заключающие его стороны пропорциональны:

△ A B_{1} C_{1} \sim △ A BC, ∠ A B_{1} C_{1} = ∠ A BC

Точно так же из подобия $△ C A_{1} B_{1} \sim △ C A B$ :

∠ C B_{1} A_{1} = ∠ A BC

Высота $B B_{1}$ перпендикулярна $A C$ , поэтому

∠ B B_{1} C_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ A B_{1} C_{1} = 9 0^{\circ} - ∠ C B_{1} A_{1} = ∠ B B_{1} A_{1}

Значит, $B B_{1}$ — биссектриса угла $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Для $A A_{1}$ и $C C_{1}$ рассуждение то же.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 862 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели