Номер 860 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№860. На рисунке 275 изображён правильный пятиугольник $A BC D E$ , т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: а) $△ A E D \sim △ A FE$ ; б) $\frac{D A}{D F} = \frac{D F}{A F}$ .

Дано:

$A BC D E$ — правильный пятиугольник

$F = A D \cap BE$

Доказать:

$△ A E D \sim △ A FE$

$\frac{D A}{D F} = \frac{D F}{A F}$

Чертёж к задаче 860 — правильный пятиугольник ABCDE с диагоналями AD и BE

Доказательство:

Сумма углов пятиугольника равна $54 0^{\circ}$ , поэтому каждый его угол равен $10 8^{\circ}$ .

а) Треугольник $A E D$ равнобедренный ( $A E = E D$ ):

∠ E A D = ∠ E D A = \frac{18 0 ^{\circ} - 10 8 ^{\circ}}{2} = 3 6^{\circ}

Треугольник $A BE$ равнобедренный ( $A B = A E$ ), поэтому $∠ A EB = 3 6^{\circ}$ , то есть $∠ A EF = 3 6^{\circ}$ .

В треугольниках $A E D$ и $A FE$ угол $A$ общий, а $∠ A D E = ∠ A EF = 3 6^{\circ}$ :

△ A E D \sim △ A FE

б) Из подобия:

\frac{A D}{A E} = \frac{A E}{A F}, A E^{2} = A D \cdot A F

В треугольнике $A FE$ углы при $A$ и $E$ равны $3 6^{\circ}$ , поэтому $A F = FE$ . Далее

∠ BE D = 10 8^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}, ∠ F D E = 3 6^{\circ}

∠ D FE = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} - 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ} = ∠ D EF

Значит, треугольник $D FE$ равнобедренный и $D F = D E = A E$ . Подставляем в $A E^{2} = A D \cdot A F$ :

D F^{2} = D A \cdot A F, \frac{D A}{D F} = \frac{D F}{A F}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 860 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели