Номер 863 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№863. Точки $E$ и $F$ лежат на стороне $A B$ треугольника $A BC$ , причём точка $E$ лежит на отрезке $A F$ и $A E = BF$ . Прямая, проведённая через точку $E$ параллельно стороне $A C$ , пересекает прямую, проведённую через точку $F$ параллельно стороне $BC$ , в точке $K$ . Докажите, что точка $K$ лежит на медиане треугольника $A BC$ , проведённой к стороне $A B$ .

Дано:

$E, F \in A B, A E = BF$

$E K ∥ A C, F K ∥ BC$

Доказать:

$K$ лежит на медиане к $A B$

Чертёж к задаче 863 — треугольник ABC с точками E, F на AB и точкой K

Доказательство:

Пусть $M$ — точка пересечения прямой $C K$ со стороной $A B$ . Из параллельности сторон получаем два подобия:

E K ∥ A C : △ ME K \sim △ M A C, \frac{M A}{ME} = \frac{MC}{M K}

F K ∥ BC : △ MF K \sim △ MBC, \frac{MB}{MF} = \frac{MC}{M K}

Значит, $\frac{M A}{ME} = \frac{MB}{MF}$ , откуда

\frac{M A - ME}{ME} = \frac{MB - MF}{MF}, \frac{A E}{ME} = \frac{BF}{MF}

По условию $A E = BF$ , поэтому $ME = MF$ и

M A = ME + A E = MF + BF = MB

Точка $M$ — середина $A B$ , то есть $CM$ — медиана, и точка $K$ лежит на ней.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 863 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели