Номер 861 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№861. В треугольнике $A BC$ ( $A B \neq = A C$ ) через середину $M$ стороны $BC$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $A$ , которая пересекает прямые $A B$ и $A C$ соответственно в точках $D$ и $E$ . Докажите, что $B D = CE$ .

Дано:

$A K$ — биссектриса угла $A$ , $M$ — середина $BC$

$D E ∥ A K, D \in A B, E \in A C$

Доказать:

$B D = CE$

Чертёж к задаче 861 — треугольник ABC, биссектриса AK и параллельная ей прямая DE через середину BC

Доказательство:

Проведём через $B$ прямую, параллельную $A C$ ; она пересекает прямую $D E$ в точке $F$ .

Треугольники $BFM$ и $CEM$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $BM = MC$ , углы при $M$ вертикальные, а $∠ FBM = ∠ ECM$ — накрест лежащие при $BF ∥ A C$ . Значит,

BF = CE

Так как $D E ∥ A K$ , то при секущей $A B$ углы $A D E$ и $K A B$ равны, а при секущей $A C$ равны углы $A E D$ и $K A C$ . Но $A K$ — биссектриса, поэтому

∠ A D E = ∠ K A B = ∠ K A C = ∠ A E D

Из $BF ∥ A C$ при секущей $D E$ получаем $∠ BF D = ∠ A E D$ , значит,

∠ B D F = ∠ BF D, B D = BF

B D = BF = CE

Ответ: утверждение доказано.

Номер 861 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели