Номер 864 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№864. Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $a$ .

Дано:

$∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BCMN$ — квадрат

$D$ — точка пересечения диагоналей квадрата

$A B + A C = a$

Найти:

$A D$

Чертёж к задаче 864 — прямоугольный треугольник ABC и квадрат на гипотенузе с центром D

Решение:

Углы $B A C$ и $B D C$ прямые, поэтому точки $A$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $BC$ . Хорды $D B$ и $D C$ равны, значит, равны и вписанные углы:

∠ B A D = ∠ D A C = 4 5^{\circ}

Опустим $D P ⊥ A B$ и $D Q ⊥ A C$ . Точка $D$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому $D P = D Q = p$ , четырёхугольник $A P D Q$ — квадрат и

A D = p 2

Площадь четырёхугольника $A B D C$ посчитаем двумя способами:

S_{A B D} + S_{A C D} = \frac{1}{2} A B \cdot p + \frac{1}{2} A C \cdot p = \frac{1}{2} p a

S_{A BC} + S_{D BC} = \frac{1}{2} A B \cdot A C + \frac{1}{4} B C^{2}

По теореме Пифагора $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , поэтому

\frac{1}{2} p a = \frac{2 \cdot A B \cdot A C + A B ^{2} + A C ^{2}}{4} = \frac{( A B + A C ) ^{2}}{4} = \frac{a ^{2}}{4}

p = \frac{a}{2}, A D = \frac{a}{2} 2 = \frac{2}{2} a

Ответ: $\frac{2}{2} a$ .

Номер 864 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели