Номер 865 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$∠ A = α = \frac{18 0 ^{\circ}}{7}, ∠ B = 2 α$

$BC = a, A C = b, A B = c$

Доказать:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Доказательство:

Так как $7 α = 18 0^{\circ}$ , то

∠ C = 18 0^{\circ} - α - 2 α = 4 α

1. Биссектриса $B D$ угла $B$ ( $D \in A C$ ): $∠ A B D = ∠ D BC = α$ . Из $∠ A = ∠ A B D$ следует $A D = B D$ .

У треугольников $B D C$ и $A BC$ угол $C$ общий и $∠ D BC = ∠ A$ , поэтому они подобны:

\frac{B D}{A B} = \frac{D C}{BC} = \frac{BC}{A C}, B D = \frac{a c}{b}, D C = \frac{a ^{2}}{b}

b = A D + D C = \frac{a c}{b} + \frac{a ^{2}}{b}, b^{2} = a^{2} + a c

2. Биссектриса $CE$ угла $C$ ( $E \in A B$ ): $∠ A CE = ∠ ECB = 2 α$ . Из $∠ ECB = ∠ B$ следует $BE = CE$ .

Треугольники $A CE$ и $A BC$ подобны (угол $A$ общий, $∠ A CE = ∠ B$ ):

\frac{CE}{BC} = \frac{A E}{A C} = \frac{A C}{A B}, CE = \frac{ab}{c}, A E = \frac{b ^{2}}{c}

c = A E + EB = \frac{b ^{2}}{c} + \frac{ab}{c}, c^{2} = b^{2} + ab

3. Отметим на $A B$ точку $F$ так, что $∠ BCF = α$ .

Треугольники $BFC$ и $BC A$ подобны (угол $B$ общий, $∠ BCF = ∠ A$ ):

\frac{BF}{BC} = \frac{BC}{B A}, BF = \frac{a ^{2}}{c}

∠ BFC = 18 0^{\circ} - 3 α = 4 α, ∠ A FC = 3 α = 4 α - α = ∠ A CF

Значит, треугольник $A FC$ равнобедренный, $A F = A C = b$ :

c = A F + FB = b + \frac{a ^{2}}{c}, c^{2} = b c + a^{2}

Складывая равенства пунктов 1 и 2, получаем $c^{2} - a^{2} = ab + a c$ , а из пункта 3 $c^{2} - a^{2} = b c$ . Значит,

b c = ab + a c

Разделим обе части на $ab c$ :

\frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b}

Ответ: утверждение доказано.