Номер 866 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№866. Из точки $M$ внутренней области угла $A OB$ проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к его сторонам $O A$ и $OB$ . Из точек $P$ и $Q$ проведены перпендикуляры $PR$ и $QS$ соответственно к $OB$ и $O A$ . Докажите, что $RS ⊥ OM$ .

Дано:

$MP ⊥ O A, MQ ⊥ OB$

$PR ⊥ OB, QS ⊥ O A$

Доказать:

$RS ⊥ OM$

Чертёж к задаче 866 — угол AOB с точкой M и перпендикулярами MP, MQ, PR, QS

Доказательство:

Пусть $E$ — точка пересечения прямой $MP$ со стороной $OB$ , а $F$ — прямой $MQ$ со стороной $O A$ .

В треугольнике $OEF$ отрезки $EP$ и $FQ$ — высоты ( $EP ⊥ OF$ и $FQ ⊥ OE$ ), и они пересекаются в точке $M$ . Значит, $M$ — точка пересечения высот, и третья высота даёт

OM ⊥ EF

Прямоугольные треугольники $OPR$ и $OFQ$ имеют общий острый угол $O$ :

\frac{OR}{OQ} = \frac{OP}{OF}, OR \cdot OF = OP \cdot OQ

Прямоугольные треугольники $OQS$ и $OEP$ тоже имеют общий острый угол $O$ :

\frac{OS}{OP} = \frac{OQ}{OE}, OS \cdot OE = OP \cdot OQ

Значит, $OR \cdot OF = OS \cdot OE$ , то есть $\frac{OR}{OE} = \frac{OS}{OF}$ . У треугольников $ORS$ и $OEF$ угол $O$ общий, а заключающие его стороны пропорциональны:

△ ORS \sim △ OEF, RS ∥ EF

OM ⊥ EF \Rightarrow OM ⊥ RS

Ответ: утверждение доказано.

Номер 866 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели