Номер 868 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$∠ C = 9 0^{\circ}, C D ⊥ A B$

$D E ⊥ A C, D F ⊥ BC$

Доказать:

$C D^{3} = A B \cdot A E \cdot BF$

$A E^{2} + B F^{2} + 3 C D^{2} = A B^{2}$

$3 A E^{2} + 3 B F^{2} = 3 A B^{2}$

Доказательство:

В прямоугольном треугольнике $A C D$ отрезок $D E$ — высота, проведённая к гипотенузе $A C$ ; так же устроен треугольник $BC D$ :

A D^{2} = A C \cdot A E, B D^{2} = BC \cdot BF

Для треугольника $A BC$ с высотой $C D$ :

C D^{2} = A D \cdot B D, A B \cdot C D = A C \cdot BC, A D = \frac{A C ^{2}}{A B}

а) Перемножаем первые два равенства:

C D^{4} = A D^{2} \cdot B D^{2} = (A C \cdot A E) (BC \cdot BF) = (A C \cdot BC) (A E \cdot BF) = A B \cdot C D \cdot A E \cdot BF

C D^{3} = A B \cdot A E \cdot BF

б) $CE D F$ — прямоугольник, поэтому $C D^{2} = D E^{2} + D F^{2}$ . По теореме Пифагора для треугольников $A E D$ и $D FB$ :

A D^{2} = A E^{2} + D E^{2}, B D^{2} = B F^{2} + D F^{2}

A E^{2} + B F^{2} = A D^{2} + B D^{2} - (D E^{2} + D F^{2}) = A D^{2} + B D^{2} - C D^{2}

A B^{2} = (A D + B D)^{2} = A D^{2} + B D^{2} + 2 A D \cdot B D = A D^{2} + B D^{2} + 2 C D^{2}

A E^{2} + B F^{2} = A B^{2} - 3 C D^{2}

в) Треугольники $A E D$ и $A CB$ подобны (угол $A$ общий, $∠ A E D = ∠ A CB = 9 0^{\circ}$ ):

\frac{A E}{A C} = \frac{A D}{A B}, A E = \frac{A C \cdot A D}{A B} = \frac{A C ^{3}}{A B ^{2}}

BF = \frac{B C ^{3}}{A B ^{2}}

3 A E^{2} + 3 B F^{2} = \frac{A C ^{2} + B C ^{2}}{3 A B ^{4}} = \frac{A B ^{2}}{3 A B ^{4}} = 3 A B^{2}

Ответ: все три утверждения доказаны.