Номер 872 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№872. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Дано:

$K$ , $L$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ , $C D$ , $D A$

$K M + L N = \frac{A B + BC + C D + D A}{2}$

Доказать:

$A BC D$ — параллелограмм

Чертёж к задаче 872 — выпуклый четырёхугольник ABCD и два отрезка между серединами противоположных сторон

Доказательство:

По задаче 871 для отрезка $L N$ , соединяющего середины $BC$ и $D A$ :

L N \leq \frac{A B + C D}{2}

причём равенство возможно только при $A B ∥ C D$ (тогда $L N$ — средняя линия трапеции). Так же

K M \leq \frac{BC + D A}{2}

с равенством только при $BC ∥ D A$ . Складываем:

L N + K M \leq \frac{A B + BC + C D + D A}{2}

По условию здесь равенство, значит, равенства выполняются в обоих неравенствах:

A B ∥ C D, BC ∥ D A

Противоположные стороны попарно параллельны, то есть $A BC D$ — параллелограмм.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 872 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели