Номер 867 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№867. В равнобедренном треугольнике $A BC$ из середины $D$ основания $A C$ проведён перпендикуляр $DH$ к стороне $BC$ . Пусть $M$ — середина отрезка $DH$ . Докажите, что $BM ⊥ A H$ .

Дано:

$A B = BC$ , $D$ — середина $A C$

$DH ⊥ BC$ , $M$ — середина $DH$

Доказать:

$BM ⊥ A H$

Чертёж к задаче 867 — равнобедренный треугольник ABC, перпендикуляр DH и середина M

Доказательство:

Отрезок $B D$ — медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, поэтому $B D ⊥ A C$ .

Пусть $N$ — середина $C H$ .

В треугольнике $A C H$ отрезок $D N$ — средняя линия ( $D$ — середина $A C$ , $N$ — середина $C H$ ):

D N ∥ A H

В треугольнике $DH C$ отрезок $MN$ — средняя линия, поэтому $MN ∥ D C$ , а значит $MN ⊥ B D$ .

Точки $C$ , $H$ , $N$ лежат на прямой $BC$ , и $DH ⊥ BC$ , поэтому $D M ⊥ BN$ .

В треугольнике $B D N$ отрезки $NM$ и $D M$ лежат на высотах и пересекаются в точке $M$ . Значит, $M$ — точка пересечения высот, и

BM ⊥ D N

Так как $D N ∥ A H$ , то $BM ⊥ A H$ .

Ответ: утверждение доказано.

Номер 867 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели