Номер 869 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A C \cap B D = P, A D = B D = C D$

$∠ A D P = \frac{1}{2} ∠ P D C = \frac{2}{3} ∠ P A D$

Найти и доказать:

углы $A$ , $B$ , $C$ , $D$

$A B^{2} = BP \cdot B D$

Решение:

Обозначим $∠ A D P = x$ . Тогда $∠ P D C = 2 x$ и $∠ P A D = 1, 5 x$ .

Точка $P$ лежит на $A C$ , поэтому $∠ D A C = ∠ P A D$ . Треугольник $A C D$ равнобедренный ( $A D = C D$ ):

∠ D C A = ∠ D A C = 1, 5 x, ∠ A D C = 3 x

1, 5 x + 1, 5 x + 3 x = 18 0^{\circ}, x = 3 0^{\circ}

∠ A D B = 3 0^{\circ}, ∠ B D C = 6 0^{\circ}, ∠ A D C = 9 0^{\circ}

Треугольник $A B D$ равнобедренный ( $A D = B D$ ) с углом $3 0^{\circ}$ при вершине $D$ :

∠ D A B = ∠ D B A = 7 5^{\circ}

Треугольник $B D C$ равнобедренный ( $B D = C D$ ) с углом $6 0^{\circ}$ при вершине, значит, он равносторонний:

∠ D BC = ∠ D CB = 6 0^{\circ}

Углы четырёхугольника:

∠ A = 7 5^{\circ}, ∠ B = 7 5^{\circ} + 6 0^{\circ} = 13 5^{\circ}, ∠ C = 6 0^{\circ}, ∠ D = 9 0^{\circ}

б) Из $∠ P A D = 4 5^{\circ}$ получаем

∠ B A P = ∠ B A D - ∠ P A D = 7 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 3 0^{\circ} = ∠ B D A

У треугольников $A BP$ и $D B A$ угол $B$ общий и $∠ B A P = ∠ B D A$ , поэтому они подобны:

\frac{A B}{D B} = \frac{BP}{B A}, A B^{2} = BP \cdot B D

Ответ: $∠ A = 7 5^{\circ}, ∠ B = 13 5^{\circ}, ∠ C = 6 0^{\circ}, ∠ D = 9 0^{\circ}$ ; равенство доказано.