Номер 870 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№870. Точка $M$ не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма $A BC D$ . Докажите, что существуют точки $N$ , $P$ и $Q$ , расположенные так, что $A$ , $B$ , $C$ и $D$ являются соответственно серединами отрезков $MN$ , $NP$ , $PQ$ и $QM$ .

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм

$M$ не лежит на прямых его сторон

Доказать:

существуют $N$ , $P$ , $Q$ — середины $MN$ , $NP$ , $PQ$ , $QM$ суть $A$ , $B$ , $C$ , $D$

Чертёж к задаче 870 — параллелограмм ABCD и четырёхугольник MNPQ с серединами сторон

Доказательство:

Построим $N$ — точку, симметричную $M$ относительно $A$ ; затем $P$ — симметричную $N$ относительно $B$ ; и $Q$ — симметричную $M$ относительно $D$ . По построению $A$ , $B$ и $D$ — середины отрезков $MN$ , $NP$ и $QM$ .

Остаётся проверить, что $C$ — середина $PQ$ . Пусть $C_{1}$ — середина $PQ$ .

В треугольнике $MNP$ отрезок $A B$ — средняя линия:

A B ∥ MP, A B = \frac{1}{2} MP

В треугольнике $MQP$ отрезок $D C_{1}$ — средняя линия:

D C_{1} ∥ MP, D C_{1} = \frac{1}{2} MP

Значит, $A B$ и $D C_{1}$ параллельны и равны, то есть $A B C_{1} D$ — параллелограмм. Но $A BC D$ — тоже параллелограмм, поэтому $C_{1} = C$ , и точка $C$ — середина $PQ$ .

Построенные точки $N$ , $P$ , $Q$ и есть искомые.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 870 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели