Номер 874 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№874. Диагонали трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $O$ . Треугольник $A BO$ , где $A B$ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков $O A$ , $O D$ и $BC$ , равносторонний.

Дано:

$A BC D$ — трапеция, $A B ∥ C D$ , $A C \cap B D = O$

$△ A BO$ — равносторонний

$P$ , $Q$ , $R$ — середины $O A$ , $O D$ , $BC$

Доказать:

$△ PQR$ — равносторонний

Чертёж к задаче 874 — трапеция ABCD с диагоналями и треугольником PQR

Доказательство:

Так как $A B ∥ C D$ , треугольники $CO D$ и $A OB$ подобны, значит, $CO D$ тоже равносторонний. Отсюда $O A = OB$ и $OC = O D$ .

Треугольники $A O D$ и $BOC$ равны по двум сторонам и углу между ними (углы при $O$ вертикальные), поэтому

A D = BC

В равностороннем треугольнике $A OB$ отрезок $BP$ — медиана, проведённая к стороне $O A$ , а значит и высота:

BP ⊥ A C, ∠ BPC = 9 0^{\circ}

В прямоугольном треугольнике $BPC$ отрезок $PR$ — медиана к гипотенузе:

PR = \frac{1}{2} BC

Так же в равностороннем треугольнике $CO D$ медиана $CQ$ к стороне $O D$ является высотой, поэтому $∠ BQC = 9 0^{\circ}$ и

QR = \frac{1}{2} BC

Наконец, $PQ$ — средняя линия треугольника $O A D$ :

PQ = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} BC

PQ = QR = RP

Ответ: утверждение доказано.

Номер 874 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели