Номер 871 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№871. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Дано:

$A BC D$ — выпуклый четырёхугольник, $A B ∦ C D$

$M$ — середина $A D$ , $N$ — середина $BC$

Доказать:

$MN < \frac{A B + C D}{2}$

Чертёж к задаче 871 — выпуклый четырёхугольник ABCD и отрезок MN, соединяющий середины AD и BC

Доказательство:

Отметим точку $D_{1}$ , симметричную $D$ относительно $N$ . Диагонали четырёхугольника $B D C D_{1}$ делятся точкой $N$ пополам, поэтому это параллелограмм и

B D_{1} = D C

В треугольнике $A D D_{1}$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $A D$ и $D D_{1}$ , то есть $MN$ — средняя линия:

MN = \frac{1}{2} A D_{1}

Так как $A B ∦ C D$ , а $B D_{1} ∥ D C$ , то точки $A$ , $B$ , $D_{1}$ не лежат на одной прямой. По неравенству треугольника

A D_{1} < A B + B D_{1} = A B + C D

MN = \frac{1}{2} A D_{1} < \frac{A B + C D}{2}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 871 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели