Номер 875 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№875. Из вершины $A$ треугольника $A BC$ проведены перпендикуляры $A M$ и $A K$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $B$ и $C$ . Докажите, что отрезок $M K$ равен половине периметра треугольника $A BC$ .

Дано:

$BM$ и $C K$ — биссектрисы внешних углов при $B$ и $C$

$A M ⊥ BM, A K ⊥ C K$

Доказать:

$M K = \frac{A B + BC + C A}{2}$

Чертёж к задаче 875 — треугольник ABC с биссектрисами внешних углов и перпендикулярами AM и AK

Доказательство:

Продолжим $A M$ и $A K$ до пересечения с прямой $BC$ в точках $D$ и $E$ .

В треугольнике $A B D$ отрезок $BM$ — одновременно биссектриса и высота, поэтому треугольник равнобедренный:

B D = B A, A M = M D

Так же в треугольнике $A CE$ :

CE = C A, A K = K E

Значит, $M K$ — средняя линия треугольника $A D E$ :

M K = \frac{1}{2} D E

Точки идут на прямой в порядке $D$ , $B$ , $C$ , $E$ , поэтому

D E = D B + BC + CE = A B + BC + C A

M K = \frac{A B + BC + C A}{2}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 875 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели