Номер 876 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A_{1} \in BC, B_{1} \in C A, C_{1} \in A B$ — внутренние точки

$A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ — середины $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$

Доказать:

$A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ не лежат на одной прямой

Чертёж к задаче 876 — треугольник ABC с отрезками AA₁, BB₁, CC₁ и серединным треугольником

Доказательство:

Пусть $M_{a}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ — середины сторон $BC$ , $C A$ , $A B$ .

В треугольнике $A B A_{1}$ отрезок $M_{c} A_{2}$ — средняя линия, поэтому

M_{c} A_{2} ∥ BC, M_{c} A_{2} = \frac{1}{2} B A_{1} < \frac{1}{2} BC = M_{c} M_{b}

Значит, $A_{2}$ — внутренняя точка стороны $M_{c} M_{b}$ серединного треугольника. Точно так же $B_{2}$ — внутренняя точка $M_{a} M_{c}$ , а $C_{2}$ — внутренняя точка $M_{a} M_{b}$ .

Допустим, что все три точки лежат на прямой $ℓ$ . Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости, и вершины $M_{a}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ распределяются между ними как 3 и 0 или как 2 и 1. В первом случае $ℓ$ не пересекает ни одной стороны серединного треугольника, во втором — ровно две. Но по доказанному $ℓ$ пересекает во внутренних точках все три стороны — противоречие.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 876 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели