Номер 877 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

Если все углы треугольника острые, то основания всех трёх высот — внутренние точки сторон, и по задаче 876 середины высот не лежат на одной прямой. Значит, остроугольным треугольник быть не может.

Пусть угол $C$ тупой. Тогда основание высоты из $C$ лежит внутри $AB$, а основания высот из $A$ и $B$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $CA$ за точку $C$.

Как и в задаче 876, середина высоты из вершины лежит на прямой, содержащей среднюю линию, параллельную противоположной стороне. Поэтому середина высоты из $C$ — внутренняя точка стороны серединного треугольника, а середины двух других высот лежат на прямых, содержащих его стороны, но вне самих сторон.

Прямая, содержащая все три середины, пересекала бы серединный треугольник ровно по одной стороне, а прямая пересекает либо две стороны треугольника, либо ни одной. Противоречие.

Остаётся единственная возможность: один из углов прямой. Тогда две высоты совпадают с катетами, их середины — это середины катетов, а третья высота проведена к гипотенузе, и её середина лежит на той же средней линии.