Номер 878 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A C = 2 BC$ , $CM$ — биссектриса

$C K$ — биссектриса внешнего угла при $C$ , $K \in A B$

Доказать:

$S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{A CM} = \frac{1}{3} S_{A BC}$

и сравнить с $S_{CM K}$

Доказательство:

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\frac{A M}{MB} = \frac{A C}{BC} = 2

У треугольников $BCM$ и $A CM$ общая вершина $C$ , а основания лежат на $A B$ :

\frac{S _{BCM}}{S _{A CM}} = \frac{MB}{A M} = \frac{1}{2}

S_{A BC} = S_{A CM} + S_{BCM} = 3 S_{BCM}, S_{BCM} = \frac{1}{3} S_{A BC}

Биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону внешним образом в том же отношении:

\frac{A K}{B K} = \frac{A C}{BC} = 2

Точка $K$ лежит на продолжении $A B$ за точку $B$ , поэтому $A K = A B + B K$ и

A B + B K = 2 B K, B K = A B

Считаем $M K$ (при $A M = \frac{2}{3} A B$ ):

M K = MB + B K = \frac{1}{3} A B + A B = \frac{4}{3} A B

\frac{S _{CM K}}{S _{A BC}} = \frac{M K}{A B} = \frac{4}{3}, S_{CM K} = \frac{4}{3} S_{A BC} = 4 S_{BCM}

В условии учебника напечатано $S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{CM K}$ — это опечатка: на самом деле $S_{BCM} = \frac{1}{4} S_{CM K}$ .

Ответ: $S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{A CM} = \frac{1}{3} S_{A BC} = \frac{1}{4} S_{CM K}$ (в учебнике опечатка).