Номер 879 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

стороны $△ EFG$ равны медианам $△ A BC$

$M$ — точка пересечения медиан, $A_{1}$ — середина $BC$

Доказать:

$\frac{S _{EFG}}{S _{A BC}} = \frac{3}{4}$

Чертёж к задаче 879 — треугольник ABC с медианами, точкой M и точкой D

Доказательство:

Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении $2 : 1$ от вершины, поэтому

A M = \frac{2}{3} A A_{1}, BM = \frac{2}{3} B B_{1}, CM = \frac{2}{3} C C_{1}

Отметим точку $D$ , симметричную $M$ относительно $A_{1}$ . Диагонали четырёхугольника $BMC D$ делятся точкой $A_{1}$ пополам, значит, это параллелограмм:

B D = MC = \frac{2}{3} C C_{1}, D C = MB = \frac{2}{3} B B_{1}

M D = 2 M A_{1} = \frac{2}{3} A A_{1}

Стороны треугольника $BM D$ составляют $\frac{2}{3}$ от медиан, поэтому он подобен треугольнику $EFG$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$ :

S_{BM D} = \frac{4}{9} S_{EFG}

С другой стороны, $A_{1}$ — середина $M D$ , поэтому

S_{BM D} = 2 S_{BM A_{1}} = 2 \cdot \frac{M A _{1}}{A A _{1}} \cdot S_{A B A_{1}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{A BC} = \frac{1}{3} S_{A BC}

S_{EFG} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} S_{A BC} = \frac{3}{4} S_{A BC}

Ответ: $\frac{S _{EFG}}{S _{A BC}} = \frac{3}{4}$ .

Номер 879 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели