Номер 880 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№880. В треугольнике $A BC$ прямая, проходящая через вершину $A$ и делящая медиану $BM$ в отношении $1 : 2$ , считая от вершины, пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Найдите отношение площадей треугольников $A B K$ и $A BC$ .

Дано:

$BM$ — медиана, $P \in BM, BP : PM = 1 : 2$

$A$ , $P$ , $K$ лежат на одной прямой, $K \in BC$

Найти:

$S_{A B K} : S_{A BC}$

Чертёж к задаче 880 — треугольник ABC с медианой BM и прямой AK

Решение:

Проведём через $M$ прямую, параллельную $A K$ ; она пересекает $BC$ в точке $N$ .

В треугольнике $A C K$ точка $M$ — середина $A C$ и $MN ∥ A K$ , поэтому $N$ — середина $C K$ :

K N = NC

В треугольнике $BMN$ отрезок $P K ∥ MN$ , поэтому

\frac{B K}{BN} = \frac{BP}{BM} = \frac{1}{3}

Обозначим $B K = x$ и $K N = NC = y$ . Тогда

x = \frac{1}{3} (x + y), y = 2 x

BC = B K + K N + NC = x + 2 y = 5 x, \frac{B K}{BC} = \frac{1}{5}

У треугольников $A B K$ и $A BC$ общая вершина $A$ , а основания лежат на $BC$ :

\frac{S _{A B K}}{S _{A BC}} = \frac{B K}{BC} = \frac{1}{5}

Ответ: $\frac{1}{5}$ .

Номер 880 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели