Номер 889 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

квадрат со стороной $a$

отрезки $p$ и $q$ , $d_{1} : d_{2} = p : q$

Построить:

ромб с диагоналями $d_{1}$ , $d_{2}$ и площадью $a^{2}$

Анализ:

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a^{2}, d_{1} d_{2} = 2 a^{2}, \frac{d _{1}}{d _{2}} = \frac{p}{q}

\frac{p}{q} d_{2}^{2} = 2 a^{2}, d_{2}^{2} = 2 a \cdot \frac{a q}{p}

то есть $d_{2}$ — среднее пропорциональное между отрезками $2 a$ и $\frac{a q}{p}$ .

Построение:

1. Построить отрезок $t = \frac{a q}{p}$ — четвёртый пропорциональный к $p$ , $q$ , $a$ .

2. Построить среднее пропорциональное $d_{2}$ между отрезками $2 a$ и $t$ .

3. Построить $d_{1} = \frac{p}{q} d_{2}$ — четвёртый пропорциональный к $q$ , $p$ , $d_{2}$ .

4. Построить ромб по диагоналям $d_{1}$ и $d_{2}$ : они взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q} d_{2}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q} \cdot 2 a \cdot \frac{a q}{p} = a^{2}

Ответ: ромб построен.