Номер 900 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№900. Две окружности имеют единственную общую точку $M$ . Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках $A$ и $A_{1}$ , а другую — в точках $B$ и $B_{1}$ . Докажите, что $A A_{1} ∥ B B_{1}$ .

Дано:

окружности касаются в точке $M$

$A$ , $A_{1}$ — на первой, $B$ , $B_{1}$ — на второй

Доказать:

$A A_{1} ∥ B B_{1}$

Чертёж к задаче 900 — две касающиеся окружности с общей касательной и двумя секущими

Доказательство:

Проведём через $M$ общую касательную $t$ к обеим окружностям.

Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключённой в нём дуги, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду:

∠ (t, M A) = ∠ M A_{1} A, ∠ (t, MB) = ∠ M B_{1} B

Углы $∠ (t, M A)$ и $∠ (t, MB)$ равны как вертикальные (точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой по разные стороны от $M$ ), поэтому

∠ M A_{1} A = ∠ M B_{1} B

Это накрест лежащие углы при прямых $A A_{1}$ и $B B_{1}$ и секущей $A_{1} B_{1}$ , значит,

A A_{1} ∥ B B_{1}

Если окружности касаются внутренним образом, те же углы оказываются соответственными, и вывод тот же.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 900 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели