Номер 901 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№901. Прямая $A C$ — касательная к окружности с центром $O_{1}$ , а прямая $B D$ — касательная к окружности с центром $O_{2}$ (рис. 276). Докажите, что: а) $A D ∥ BC$ ; б) $A B^{2} = A D \cdot BC$ ; в) $B D^{2} : A C^{2} = A D : BC$ .

Дано:

$A$ и $B$ — общие точки окружностей

$A C$ — касательная в $A$ , $B D$ — касательная в $B$

Доказать:

$A D ∥ BC$

$A B^{2} = A D \cdot BC$

$B D^{2} : A C^{2} = A D : BC$

Чертёж к задаче 901 — две пересекающиеся окружности с касательными AC и BD

Доказательство:

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Для окружности с центром $O_{1}$ (касательная $A C$ , хорда $A B$ ) и для окружности с центром $O_{2}$ (касательная $B D$ , хорда $B A$ ):

∠ C A B = ∠ A D B, ∠ D B A = ∠ A CB

Значит, треугольники $A B D$ и $BC A$ подобны по двум углам:

△ A B D \sim △ BC A, \frac{A B}{BC} = \frac{B D}{C A} = \frac{D A}{A B}

а) Из подобия $∠ D A B = ∠ A BC$ — это накрест лежащие углы при прямых $A D$ и $BC$ и секущей $A B$ , поэтому $A D ∥ BC$ .

б) Из $\frac{A B}{BC} = \frac{A D}{A B}$ :

A B^{2} = A D \cdot BC

в) Из $\frac{B D}{A C} = \frac{A D}{A B}$ :

\frac{B D ^{2}}{A C ^{2}} = \frac{A D ^{2}}{A B ^{2}} = \frac{A D ^{2}}{A D \cdot BC} = \frac{A D}{BC}

Ответ: все три утверждения доказаны.

Номер 901 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели