Номер 890 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№890. Прямая $m$ , не проходящая через вершины треугольника $A BC$ , пересекает его стороны $A B$ и $BC$ , а также продолжение стороны $A C$ соответственно в точках $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ . Докажите, что верно равенство $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ (теорема Менелая).

Дано:

$C_{1} \in A B, A_{1} \in BC$

$B_{1}$ — на продолжении $A C$

Доказать:

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

Чертёж к задаче 890 — треугольник ABC, прямая m и вспомогательная прямая BK

Доказательство:

Проведём через $B$ прямую, параллельную $A C$ ; она пересекает $m$ в точке $K$ .

Треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $B C_{1} K$ подобны (углы при $C_{1}$ вертикальные, а $B K ∥ A B_{1}$ ):

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{A B _{1}}{B K}

Треугольники $K B A_{1}$ и $B_{1} C A_{1}$ подобны по той же причине:

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{B K}{C B _{1}}

Перемножаем все три отношения:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{A B _{1}}{B K} \cdot \frac{B K}{C B _{1}} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{A B _{1}}{B _{1} A} = 1

Ответ: утверждение доказано.

Номер 890 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели