Номер 903 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№903. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Дано:

$A B$ и $C D$ — равные хорды окружности с центром $O$

$P$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$

Доказать:

$P A = PC$ , $PB = P D$

Чертёж к задаче 903 — окружность с двумя равными хордами и точкой их пересечения P

Доказательство:

Пусть $M_{1}$ и $M_{2}$ — середины хорд $A B$ и $C D$ . Радиусы $O M_{1}$ и $O M_{2}$ перпендикулярны хордам, а равные хорды равноудалены от центра:

O M_{1} = O M_{2}

Прямоугольные треугольники $O M_{1} P$ и $O M_{2} P$ равны по гипотенузе $OP$ и катету, поэтому

P M_{1} = P M_{2}

Кроме того, $M_{1} A = M_{1} B = M_{2} C = M_{2} D = \frac{A B}{2}$ . Складывая и вычитая равные отрезки, получаем

P A = P M_{1} - \frac{A B}{2} = P M_{2} - \frac{C D}{2} = PC

PB = P M_{1} + \frac{A B}{2} = P M_{2} + \frac{C D}{2} = P D

Если точка $P$ лежит внутри окружности, то вместо разности берётся $\frac{A B}{2} - P M_{1}$ , и равенства сохраняются.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 903 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели