Номер 895 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№895. На катетах $A C$ и $BC$ прямоугольного треугольника $A BC$ внешним образом построены квадраты $A CF K$ и $BC D E$ , $C H$ — высота треугольника $A BC$ . Докажите, что прямые $C H$ , $B K$ и $A E$ пересекаются в одной точке.

Дано:

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = a$ , $A C = b$

$A CF K$ и $BC D E$ — квадраты, $C H ⊥ A B$

Доказать:

$C H$ , $B K$ , $A E$ пересекаются в одной точке

Чертёж к задаче 895 — прямоугольный треугольник ABC с квадратами на катетах

Доказательство:

Пусть $A_{1}$ и $B_{1}$ — точки пересечения прямых $A E$ и $B K$ со сторонами $BC$ и $A C$ .

Отрезок $A K$ перпендикулярен $A C$ , как и $BC$ , поэтому $A K ∥ CB$ и треугольники $A B_{1} K$ и $C B_{1} B$ подобны:

\frac{A B _{1}}{C B _{1}} = \frac{A K}{CB} = \frac{b}{a}, \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{a}{b}

Так же $BE ∥ C A$ и треугольники $B A_{1} E$ и $C A_{1} A$ подобны:

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{BE}{C A} = \frac{a}{b}

Для высоты прямоугольного треугольника (свойство пропорциональных отрезков):

B H : H A = a^{2} : b^{2}, \frac{A H}{H B} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}}

Перемножаем:

\frac{A H}{H B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = 1

По теореме, обратной теореме Чевы (задача 894), прямые $A A_{1}$ (то есть $A E$ ), $B B_{1}$ (то есть $B K$ ) и $C H$ пересекаются в одной точке.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 895 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели