Номер 896 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№896. Точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат соответственно на сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ , причём отрезки $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что $\frac{CO}{O C _{1}} = \frac{C A _{1}}{A _{1} B} + \frac{C B _{1}}{B _{1} A}$ (теорема Ван-Обеля).

Дано:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в точке $O$

Доказать:

$\frac{CO}{O C _{1}} = \frac{C A _{1}}{A _{1} B} + \frac{C B _{1}}{B _{1} A}$

Чертёж к задаче 896 — треугольник ABC с чевианами и точкой O

Доказательство:

Применим теорему Менелая к треугольнику $A C C_{1}$ и секущей $B B_{1}$ (она пересекает $A C$ в $B_{1}$ , $C C_{1}$ в $O$ , $C_{1} A$ в $B$ ):

\frac{A B _{1}}{B _{1} C} \cdot \frac{CO}{O C _{1}} \cdot \frac{C _{1} B}{B A} = 1, \frac{CO}{O C _{1}} = \frac{C B _{1}}{B _{1} A} \cdot \frac{A B}{B C _{1}}

И к треугольнику $BC C_{1}$ с секущей $A A_{1}$ :

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{CO}{O C _{1}} \cdot \frac{C _{1} A}{A B} = 1, \frac{CO}{O C _{1}} = \frac{C A _{1}}{A _{1} B} \cdot \frac{A B}{A C _{1}}

Обозначим $\frac{CO}{O C _{1}} = x$ , $A C_{1} = p$ , $C_{1} B = q$ . Из полученных равенств

\frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{x q}{p + q}, \frac{C A _{1}}{A _{1} B} = \frac{x p}{p + q}

Складываем:

\frac{C A _{1}}{A _{1} B} + \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{x ( p + q )}{p + q} = x = \frac{CO}{O C _{1}}

Ответ: утверждение доказано.

Номер 896 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели