Номер 897 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№897. Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Дано:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — биссектрисы, $O$ — их общая точка

$BC = a, C A = b, A B = c$

Доказать:

$\frac{CO}{O C _{1}} = \frac{a + b}{c}$

Чертёж к задаче 897 — треугольник ABC с биссектрисами и точкой O

Доказательство:

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (задача 642):

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{c}{b}, \frac{C A _{1}}{A _{1} B} = \frac{b}{c}

\frac{A B _{1}}{B _{1} C} = \frac{c}{a}, \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{a}{c}

По теореме Ван-Обеля (задача 896):

\frac{CO}{O C _{1}} = \frac{C A _{1}}{A _{1} B} + \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c} = \frac{a + b}{c}

Для биссектрис $A A_{1}$ и $B B_{1}$ рассуждение то же.

Ответ: $\frac{CO}{O C _{1}} = \frac{a + b}{c}$ — утверждение доказано.

Номер 897 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели